Nachtermin Teil A

Teilaufgabe a

Berechnung von $\overline{\mathrm{AC}}$

1) Berechne zunächst den Winkel $\mathrm{CMA}$:

$\begin{array}{l}\sphericalangle \mathrm{CMA}={180}^{\circ }-\sphericalangle \mathrm{BMC}={180}^{\circ }-{58}^{\circ }={122}^{\circ }\end{array}$

2) Der Winkel $\mathrm{CMA}$ liegt der Seite $\overline{AC}$ gegenüber, mit dem Kosinussatz kannst Du die Seite $\overline{AC}$ berechnen:

$\begin{array}{rcl}{\overline{\mathrm{AC}}}^2& =& {\overline{\mathrm{AM}}}^2+{\overline{\mathrm{MC}}}^2-2\cdot \overline{\mathrm{AM}}\cdot \overline{\mathrm{MC}}\cdot \cos \sphericalangle \mathrm{CMA}\\ & =& (2\text{cm}{)}^2+(4\text{cm}{)}^2-2\cdot 2\text{cm}\cdot 4\text{cm}\cdot \cos {122}^{\circ }\\ & =& 4{\text{cm}}^2+16{\text{cm}}^2-16{\text{cm}}^2\cdot \cos {122}^{\circ }\\ & =& 20{\text{cm}}^2-16{\text{cm}}^2\cdot (-\mathrm{0,53})\\ & =& \mathrm{28,48}{\text{cm}}^2\end{array}$

Ziehe nun die Wurzel. Da $[AC]$ eine Länge ist, kannst das negative Ergebnis vom Wurzelziehen weggelassen werden.

$\overline{\mathrm{AC}}=$ $\sqrt{\mathrm{28,48}{\text{cm}}^2}=\mathrm{5,34}\text{cm}$

3) Jetzt kannst Du mit dem Sinussatz den Winkel $\mathrm{MAC}$ berechnen:

$${\displaystyle \frac{\overline{MC}}{\sin \sphericalangle \mathrm{MAC}}=\frac{\overline{AC}}{\sin \sphericalangle \mathrm{CMA}}}$$

Umgestellt ergibt sich:

$$\begin{array}{rcl}\sin \sphericalangle \mathrm{MAC}& =& {\displaystyle \frac{\sin \sphericalangle \mathrm{CMA}}{\overline{AC}}\cdot \overline{MC}}\\ & & \\ & =& {\displaystyle \frac{\sin 122°}{\mathrm{5,34}\text{cm}}\cdot 4\text{cm}}\end{array}$$

$$\sphericalangle \mathrm{MAC}={\sin }^{-1}\left({\displaystyle \frac{\sin 122°}{\mathrm{5,34}}\cdot 4}\right)\approx \mathrm{39,44}°$$

$\sphericalangle \mathrm{MAC}=\sphericalangle \mathrm{BAC}\approx {\mathrm{39,44}}^{\circ }.$

Hinweis: der Wert in der Zeichnung weicht vom errechneten Ergebnis ab, da wir bei 2) gerundet haben. Alle drei Werte werden als korrekt bewertet.

Teilaufgabe b

Der Umfang der Figur setzt sich zusammen aus dem Kreisbogen $\stackrel{⌢}{B}$ und den Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{AC}$.

Die Länge des Kreisbogens wird bestimmt durch den Radius des Kreissektors und seinem Winkel:

$\begin{array}{rcl}\stackrel{⌢}{B}& =& {\displaystyle \frac{2r\cdot \pi \cdot \sphericalangle BMC}{{360}^{\circ }}}\\ & & \\ & =& {\displaystyle \frac{2\cdot 4\text{cm}\cdot \pi \cdot {58}^{\circ }}{{360}^{\circ }}}\\ & & \\ & =& {\displaystyle \frac{\mathrm{1456,96}}{360}}\text{cm}\\ & & \\ & \approx & \mathrm{4,05}\text{cm}\end{array}$

Nun addierst du nur noch die drei Längen und erhältst den Umfang $u$:

$u=\overline{AB}+\overline{AC}+\stackrel{⌢}{B}$

$\phantom{u}=6\text{cm}+\mathrm{5,34}\text{cm}+\mathrm{4,05}\text{cm}=\mathrm{15,39}\text{cm}$